汇率是一个国家的货币对外价格的表现形式，是一种相对价格。受到很多原因的影响，除了经济原因，还有政治原因。如不同利率的差异、各国的通货膨胀程度、全球的金融环境等[1]。这就使得汇率并不容易通过几个因素就解释清楚，本文选取时间序列分析方法，研究美元/欧元的每日收盘价，希望能够研究出这一序列的趋势和波动性。 过去几年，较多领域的预测模型仍采用单个模型，如自回归移动平均模型、BP神经网络（反向传播神经网络）、RBF径向基网络（即径向基函数神经网络）、ARCH模型（自回归条件异方差模型）等。许少强等[2]用自回归移动平均模型提取出欧元/美元以及日元/美元汇率的走势，对两种汇率差分后建立ARMA模型（自回归移动平均模型）提取其走势，对人民币/美元汇率进行了中长期的预测。由于现实中的时间序列一般均为非平稳时间序列，越来越多的学者开始研究人工神经网络模型。朱家荣等[3]用RBF神经网络拟合人民币/美元汇率这一时间序列，较好地刻画出了该序列的趋势特性。经过多领域的综合研究发现，RBF神经网络的预测误差较大，BP神经网络存在收敛速度慢、精确度不高、容易限于局部极小值等一系列问题[4-5]。为了提高BP神经网络预测模型对时间序列的预测精度，惠晓峰等[6]在遗传算法的基础上，结合递归预测方法，提出了基于实数编码的GA−BP神经网络预测模型，有效地提高了模型的预测精度。为了弥补BP神经网络在连接权值和阈值上的不足，侯越等[7]在萤火虫算法和BP神经网络的基础上，提出了用萤火虫算法优化BP神经网络，并将该算法应用到Duffing系统产生的混沌时间序列，得到的网络初始权值和阈值远远优于原模型，这说明优化后的算法准确性更高。 真实的金融序列并非同方差，Engle在1982年提出ARCH模型[8-9]，可以刻画随时间变化的条件异方差。Bollerslev在此前提下提出了GARCH模型（广义的ARCH模型）[10]，不仅可以反映条件异方差，而且能体现真实数据的长期记忆性。 随着研究的不断深入，线性与非线性模型的结合成为新的研究方向。Kristjanpoller等[11]提出将自回归条件异方差模型与人工神经网络组合，运用GARCH（1, 1）模型对石油现货价格进行分析，将分析结果作为人工神经网络的输入，进而发现这一模型相比于调整异方差的均方误差模型，将波动性的预测精度提高了30%。 本文选取美元/欧元每日汇率的收盘价作为研究数据，运用BP神经网络模型拟合序列的总体趋势，在此基础上，分别构建自回归移动平均模型和广义的自回归条件异方差模型，与BP网络模型线性叠加，通过一定的参数优化，得到了较好的时间序列分析模型。 1 预测原理及方法 1.1 BP神经网络 BP算法是一种按照误差逆向传播训练的多层前馈神经网络[12-16]。图1给出了3层BP网络模型。图中， ${\xi _k}$ 表示输入， ${V_j}$ 表示隐含层， ${O_i}$ 表示输出。 ${w_{jk}}$ 表示输入 $k$ 与隐含层 $V_j$ 的连接权值， ${W_{ij}}$ 是隐含层 $V_j$ 与输出 $O_i$ 之间的连接权值， $\omega = {\rm{\{ }}W, w\} $ 中存储了全部的连接权值。对于特定的输入模式 $\mu $ ，隐含层 $V_j$ 的输入 $h_j^\mu = \sum\limits_{k = 1}^K {{\omega _{jk}}\xi _k^n} $ (1) 输出 $V_j^\mu = {g_1}(h_j^\mu ) = {g_1}\left( {\sum\limits_{k = 1}^K {{\omega _{jk}}\xi _k^\mu } } \right)$ (2) 输出 $O_i$ 的输入 $H_i^\mu = \sum\limits_{j = 1}^J {{W_{ij}}V_j^\mu } = \sum\limits_{j = 1}^J {{W_{ij}}{g_1}} \left( {\sum\limits_{k = 1}^K {{\omega _{jk}}\xi _k^\mu } } \right)$ (3) 最终输出 $O_i^\mu = {g_2}(H_i^\mu ) = {g_2}\left[{\sum\limits_{j = 1}^J {{W_{ij}}{g_1}\left( {\sum\limits_{k = 1}^K {{\omega _{jk}}\xi _k^\mu } } \right)} } \right]$ (4) 对应于任意的输入模式μ和输出i，在线误差函数 $\begin{split}{E^\mu }(\omega ) =& 0.5{(\xi _i^\mu - O_i^\mu )^2} =\\ &0.5{\left\{ {\xi _i^\mu - {g_2}\left[{\sum\limits_{j = 1}^J {{W_{ij}}{g_1}\left( {\sum\limits_{k = 1}^K {{\omega _{jk}}} \xi _k^\mu } \right)} } \right]} \right\}^2}\end{split}$ (5) 对输出 $O_i$ ，总的误差函数 $ E(\omega ) = \sum\limits_{\mu = 1}^P {{E^\mu }(\omega )} = 0.5\sum\limits_{\mu = 1}^P {{{(\xi _i^\mu - O_i^\mu )}^2}} $ (6) 式中： $\xi _i^\mu $ 表示模式 $\mu $ 所对应输出 $O_i$ 的期望值； $\mu $ 表示不同的输入模式； $P$ 表示输入模式的个数 $(\mu = 1, $ $2, \cdots, P)$ ； ${g_1}$ 和 ${g_2}$ 代表隐含层和输出层的激活函数。 图 1 BP神经网络的结构图 Fig. 1 BP neural network structure diagram 1.2 ARMA模型 ARMA模型（自回归移动平均模型）[17-18]可描述为 $\begin{split} &y(n) = {\varphi _1}y(n - 1) + {\varphi _2}y(n - 2) + \cdots + {\varphi _p}y(n - p) + \\ &\quad\mu (n) + {\theta _1}\mu (n - 1) + {\theta _2}\mu (n - 2) + \cdots + {\theta _q}\mu (n - q) \end{split}$ (7) 式中：y（n）表示时间序列在n时刻的值；φ1，φ2，φ3， $ \cdots$ ，φp为自回归模型的系数；p为自回归模型阶数；θ1，θ2， $ \cdots$ ，θq为q阶移动平均模型的系数； $\mu (n)$ 为白噪声过程，均值为0，方差为 ${\sigma ^2}$ 。 递推可得[19] $y(n) = \sum\limits_{j = 0}^\infty {{G_j}\mu (n - j)} $ (8) 式中， $G_j $ 为格林系数。 时间序列的波动方差就是 $\displaystyle\sum\limits_{j = 0}^{l - 1} {{G_j}^2} {\sigma ^2}$ ，如果序列未来 $l$ 期的预测值是 $\hat y (n + l)$ ，那么， $y(n + l)$ 的置信区间（置信水平为 $1{\rm{ - }}\alpha $ ）为 $ \begin{split}&\left[{\hat y (n + l)-{u_{\alpha /2}}{{\left( {\sum\limits_{j = 0}^{l-1} {{G_j}^2} } \right)}^{1/2}}\!\!\sigma, }\right. \\ &\quad\quad\left. \hat y (n \!+\! l) +{{u_{\alpha /2}}{{\left( {\sum\limits_{j = 0}^{l-1} {{G_j}^2} } \right)}^{1/2}}\!\!\sigma } \right]\end{split} $ (9) 式中， ${u_{\alpha /2}}$ 为标准正态分布的上 $\alpha /2$ 临界值。 1.3 GARCH模型 Bolloerselev提出的GARCH模型，主要是针对金融序列的回归以及波动性分析[20]。GARCH模型的构成可表示为 ${y_t} = C + {\varepsilon _t}$ (10) ${\sigma _t}^2 = K + \sum\limits_{i = 1}^P {{G_i}} {\sigma _{t - i}}^2 + \sum\limits_{j = 1}^Q {{A_j}{\varepsilon _{t - j}}^2} $ (11) $\begin{array}{c} K > 0,\;\;\;\; \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^P {{G_i} + \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^Q {{A_j}} } < 1\\ {G_i} \geqslant 0, i = 1, 2, \cdots, P,\;\;\;\; {A_j} \geqslant 0, j = 1, 2, \cdots, Q\end{array} $ 式中：yt为收益率序列；C与K为常数；εt为均值；σt2为收益率序列的方差；Gi与Aj为权重系数。 式（10）为条件均值方程，式（11）为条件方差方程。 2 实证分析 研究数据为2001年7月至2017年10月期间的美元/欧元的每日收盘价，数据共计6 000个，如图2所示。 图 2 美元/欧元汇率2001年7月至2017年10月的历史数据 Fig. 2 USD/EUR exchange rate historical data from July 2001 to October 2017 2.1 BP模型建立 时间序列通常可以表示为 $x(t), t=1, 2, \cdots, n $ ，第一步需要根据选定的嵌入维数m和时间延迟τ重构相空间[21]。 $\begin{split}\{ Y(t)|Y(t) =& [x(t), x(t + \tau ), \cdots{{, x(t + (m-1)\tau )],}}\\ &{{t = 0, 1, 2, }}\cdots{{, n - (m - 1)\tau \} }}\end{split}$ (12) $Y(t) $ 是时间序列在t时刻的值，且从嵌入定理[22-23]可知，存在光滑的映射 $f:{\mathbb{R}^n} \to \mathbb{R}$ 符合： $\begin{split}x(t +& m\tau ) = f(Y(t)) = \\ &f(x(t), x(t + \tau ), \cdot \cdot \cdot, x(t + (m - 1)\tau ))\end{split}$ (13) 实验结果通过均方误差MSE和相对误差Perr来分析。 $MSE = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 0}^N {{\rm{|}}x(t + 1) - \widehat x{\rm{(t + 1)}}{{\rm{|}}^2}} $ (14) $Perr = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 0}^N {|x(t + 1) - \widehat x(t + 1){|^2}} \Bigg{/}\sum\limits_{i = 0}^N {{x^2}(t + 1)} $ (15) 式中： $x(t)$ 为真实值； $\widehat x(t)$ 为其对应的预测值；N为序列的个数。 2.2 BP神经网络实证分析 2.2.1 参数确定 以汇率数据的前5 000个为网络的训练数据，用其后的1 000个数据测试训练的结果。这一时间序列自相关性较强，为了验证选择不同的输入节点个数的模型结果，将其对应的均方误差图和平均均方误差进行对比，如图3所示。s为隐含层节点个数。 图 3 不同隐含层节点数的均方误差图 Fig. 3 Mean squared error plots for the number of nodes in different hidden layers 从图3可知，输入层节点数为17时，预测的误差最小，拟合效果良好，所以，初步将输入节点个数 $n$ 选为17，时间延迟 $\tau = 1$ 。隐含层的节点个数一般根据经验决定，通常通过以下几种方法来确定：a. ${n_l} = \sqrt {nt } $ ；b. ${n_l} = \sqrt {n + t } + \alpha $ ；c. nl=log2 n。 $n$ 是输入节点的个数， $t $ 是输出节点的个数，从经验方法出发，隐含层节点的个数可以初步列为4或5。另外，当隐含层节点的个数选为3时，误差都最小。不过，为了防止模型过拟合，本文通过选取不同的隐含层节点个数，构建不同参数的模型，对比验证得出结论：只有在隐含层的节点个数是3时，才能得出比较好的模型。该模型的拟合结果如图4所示。 图 4 2017年7月至2017年10月的美元/欧元汇率BP神经网络（17−3−1）预测图 Fig. 4 BP neural network (17-3-1) forecast graph of USD/EUR exchange rate from July 2017 to October 2017 该模型的相对误差是1.595 3×10−5，均方误差是1.199 5×10−5。从图4可知，BP神经模型（17−3−1）的预测性能良好，将BP神经网络的拟合结果输入到下一个模型，再将2个模型进行线性叠加，得到2个模型的组合预测区间。但是，实验发现，输入节点定为17时，组合区间的准确性并不理想，所以，要优化模型的输入层节点个数、隐含层节点个数和精度设置。 2.2.2 参数优化 单个模型的预测精度高并不代表组合模型的效果就一定好，所以，需要找一个平衡点，既要避免单个模型精度过高导致过拟合，又要避免组合模型的效果不尽人意。通过适当地增大BP神经网络的预测精度，提高了组合模型的整体效果，模型结果最终确定为50−7−1，得到BP神经网络的预测结果如图5所示。 图 5 2017年7月至2017年10月的美元/欧元汇率BP神经网络（50−7−1）预测图 Fig. 5 BP neural network (50-7-1) forecast graph of USD/EUR exchange rate from July 2017 to October 2017 从图5可以看出，模型对原序列的拟合效果较好。将该模型的残差序列 $\{ c(x)\} $ 输入到ARMA以及GARCH模型，作为新的输入数据。 2.3 BP−ARMA模型实证分析 2.3.1 ARMA模型实例分析 首先对残差时间序列c{x}进行单位根检验，结果显示c{x}已经平稳。通过自相关系数（AC）和偏自相关系数（PAC）以及AIC（Akaike information criterion，赤池信息准则）、BIC（Bayesian information criterion，贝叶斯信息准则）的值来确定ARMA模型的参数p与q，序列 $\{ c(x)\} $ 的自相关系数以及偏自相关系数如图6所示。 图 6 残差序列{c（x）}的自相关图 Fig. 6 Autocorrelation giagram of residual sequence {c(x)} 图6中，概率为Q统计量取值大于该样本计算的Q值的概率。从AC可以看出，序列c{x}的自相关系数2阶拖尾，偏自相关系数1阶结尾，将参数确定为p=1，q=2。模型估计结果如表1所示。 表 1 ARMA（1，2）模型估计结果 Table 1 Estimation results of ARMA (1, 2) model 对ARMA（1, 2）模型进行残差检验，得到自相关和偏自相关系数，如图7所示。 图 7 残差序列相关图 Fig. 7 Correlation diagram of residual sequence 从图7可以看出，残差序列的自相关、偏自相关系数都处于95%的置信区间之内，且自相关系数的概率值均高于检验水平0.05，因此，得出结论：ARMA（1, 2）模型的残差序列不存在自相关性。可得ARMA（1, 2）表达式为 $\begin{split}{y_t} =& 0.332\;14{y_{t - 1}} + {\varepsilon _t} -\\ &0.011\;35{\varepsilon _{t - 1}} - 0.028\;52{\varepsilon _{t - 2}} + 0.001\;18\end{split}$ (16) 利用ARMA（1, 2）对 $\{ c(x)\} $ 序列前900个数据进行拟合，对后100个数据进行区间预测，可得置信度为95%的置信区间，如图8所示。 图 8 残差序列c{x}95%的预测区间 Fig. 8 95% prediction interval of residual sequence c{x} 从图8可以看出，大部分的真实值均落在ARMA（1, 2）模型的预测区间内，这验证了ARMA模型分析时间序列波动的有效性，而有超过5%的点落在预测区间外，同时也说明自回归移动平均模型在波动性分析方面的精度还不够。 2.3.2 线性叠加 利用ARMA（1, 2）模型预测BP神经网络模型的残差，将ARMA（1, 2）对c{x}序列的预测结果与BP神经网络的预测结果线性叠加，可得到美元/欧元汇率在5 901～6 000这一时间段的预测区间，如图9所示。 图 9 BP-ARMA组合模型95%的预测区间 Fig. 9 95% prediction interval by the BP-ARMA combination model 从图9可以看出，除了误差允许范围内的少部分真实值落在预测区间外，其余的真实值均落在区间内，且与真实数据的趋势也保持一致。 2.4 BP−GARCH模型实证分析 2.4.1 GARCH模型实例分析 前面已经证明序列{c（x）}具有平稳性。用ARCH−LM方法验证出该序列具有高阶的ARCH效应，那么，采取GARCH模型就可以很好地消除该序列的条件异方差特性。依据最小AIC原则，构建模型GARCH（1, 1），模型的参数如表2所示。GARCH（1, 1）的表达式为 表 2 GARCH（1，1）模型估计结果 Table 2 Estimation results by the GARCH (1, 1) model $\begin{split}{y_t} =& {y_{t - 1}} + {\varepsilon _t}-0.745\;1{\varepsilon _{t -1}}-\\ &0.230\;4{\varepsilon _{t- 2}} + 0.000\;247\end{split}$ (17) $\quad\quad\;\quad\quad\quad\;\;\sigma _t^2 = 0.970\;6\sigma _{t - 1}^2 + 0.027\;90\varepsilon _{t - 1}^2$ (18) 利用该模型拟合前900个数据，得到后100个的拟合结果，并预测其波动区间，得到置信度为95%的置信区间以及其预测方差，如图10所示。 图 10 GARCH（1，1）模型对残差序列{c（x）}的区间预测 Fig. 10 Interval prediction of residual sequence {c(x)} by the GARCH (1, 1) model 从图10可以看出，序列全部的真实值都处在置信区间内，方差也随着迭代步数的增加而变大，整体的预测效果良好。 2.4.2 线性叠加 将BP神经网络和GARCH（1, 1）模型的预测结果进行线性叠加，就可以得到美元/欧元汇率序列置信水平为95%预测区间，如图11所示。 图 11 BP-GARCH（1，1）模型对美元/欧元汇率95%的预测区间 Fig. 11 95% interval forecast of USD/EUR exchange rate by the BP-GARCH (1, 1) model 从图11可知，只有4个真实值不在置信区间之内，2种模型组合的效果较好。 2.5 模型对比 从图9与图11的结果可以看出，BP与GARCH模型的组合相比于BP与ARMA模型的组合，区间估计更准确，只有极少数误差允许范围内的时间节点的真实值超出预测区间，而BP−ARMA的组合模型在100个时间节点当中有超过10个时间节点的真实值超出了预测区间，说明BP−GARCH模型要优于BP−ARMA模型，更适合对金融时间序列进行趋势与波动性分析。 3 总结与展望 将BP神经网络分别与ARMA，GARCH模型进行组合，对比分析近几年美元/欧元汇率的趋势与波动性，结果显示，BP神经网络的非线性映射能力较强，可以准确地刻画时间序列的趋势。通过适当地增大BP神经网络模型的误差来提高组合模型的预测效果，构建出一结构为50−7−1的BP神经网络模型，接着采用ARMA（1, 2）与GARCH（1, 1）模型提取BP神经网络的拟合结果的波动信息，最后结合BP神经网络模型的趋势特性，得出美元/欧元汇率的拟合趋势以及置信水平为95%的预测区间。比较BP−ARMA（1, 2）与BP−GARCH（1, 1）这2个模型的预测效果，可以得出：BP−GARCH（1, 1）模型的预测效果比单一的BP神经网络模型好，也比BP−ARMA（1, 2）组合模型的效果更好。